九大理系数学'09年後期[1]

nを自然数とする。において定義された関数
について、以下の問いに答えよ。なお、必要ならば、任意の整数mについてが成り立つことを用いてよい。
(1) の導関数を求めよ。
(2) 関数を求めよ。
(3) のときのの間に成り立つ関係式を求めよ。
(4) nを用いて表せ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 の定積分は、とおく(置換積分を参照)と、tのときuより、
 ・・・@
とできるので、この形の方が計算しやすいかも知れませんが、問題文中の式のままやってみます。マイナスがたくさんつくので慎重に計算する必要があります。

(1) ややこしくてミスし易いので、の原始関数を,つまり、として計算することにします(定積分の微分(その2)を参照)

......[]

(2)  (不定積分の公式を参照)


......[]

(3) 定積分の漸化式では、部分積分するのが定石です。




(4) (3)の漸化式を繰り返して用いることにより、


・・・・・・

 (但し、とします)
ここでとすると、問題文の指定により、 (関数の極限を参照)
......[]

追記.@の定積分で表されるpの関数:
をガンマ関数と言います。
自然数
nに対して、です。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。

【完全記憶術】円周率π(Pi)円周率表記〜「円周率(π)」を暗記するためにはじめに読むべき一冊〜
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。
inserted by FC2 system