九大理系数学'09年前期[5]
曲線
上を動く点Pの時刻tにおける座標を
と表し、Pの速度ベクトルと加速度ベクトルをそれぞれ
と
とする。すべての時刻tで
かつ
であるとして、次の問いに答えよ。
(1) Pが点
を通過する時刻における速度ベクトル
をsを用いて表せ。 (2) Pが点
を通過する時刻における加速度ベクトル
をsを用いて表せ。 (3) Pが曲線全体を動くとき、
の最大値を求めよ。
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解答 単に微分していくだけの問題ですが、曲線の式が与えられていて、動点のx座標、y座標が時刻tの関数として与えられていないので、合成関数の微分法の利用を考えることになります。
(1) 曲線：
･･･① yをxで微分すると、
･･･②
･･･③
より、
より、
･･･④③より、
･･･⑤Pが点
を通過する時刻における速度ベクトル
は、
として、 
......[答]
(2) 加速度ベクトルのx成分は、
ですが、④では
はxの関数で与えられていて、tの関数の形をしていないので、合成関数の微分法を用います。 加速度ベクトルのy成分、
も同様に、⑤では
はxの関数で与えられているので、合成関数の微分法を用います。 Pが点
を通過する時刻における加速度ベクトル
は、
として、 
......[答]
(3) Pが曲線全体を動くとき、(2)のsは全実数をとります。
このままsの関数と見てsで微分してもよいのですが、計算をラクにするために、
(
)とおいてuの関数と見ることにします(
としないのは、分母をできるだけ簡単にするため)。 より、
......[答]
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(
とおきます。
です)
の最大値は、