筑波大数学'09[3]

を整式で表される関数とし、とおく。任意の実数xについて
が成り立つとする。
(1) が成り立つことを示せ。
(2) は定数または1次式であることを示せ。
(3) およびを求めよ。


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解答 連立微分方程式のように見えますが、は整式、という指定がついているので、現行の高校学習指導要領の範囲内で解決します。なお、本問のような、を利用する問題では、定積分を0にするようなxの値を代入することにより、隠れた条件が出てくるので注意してください。本問でも、(3)bの値を決めるところで考えることになります。

 ・・・@
 ・・・A
(1) @両辺をxで微分すると、
 ・・・B
A両辺をxで微分すると、
 ・・・C (積の微分法定積分と微分(その2)を参照)
この形のまま微分すると、右辺の微分でが残って困ることになります。(1)は、@,Aよりを消去することが目的なので、Bを考慮して、C両辺にをかけ、
 ・・・D
この両辺をxで微分すると、
 ( B)
両辺にをかけて、

(2) としてn次の整式とし、次以下の整式と定数aを用いて、
とおけたと仮定します。
(1)の等式に代入すると、
整理して、
 ・・・E
次以下、次以下の整式なので、Eの以外の項は次以下の整式になります。Eが任意の実数xについて成立するためには、の係数は0でなければなりません(恒等式を参照)。ですが、では、にせよ、にせよ、n()の整式であることに矛盾します。
よって、であり、は定数または
1次式です。

(3) (2)より、とおけて、
これらを(1)の等式に代入すると、
 ・・・F
@にを代入すると、 
(を代入するのは、@の定積分の値を0にするため)
Dにを代入すると、

Fより、
......[]
Dより、
......[]


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