豊橋技科大数学'09年[1]
二つの数列
，
が次のように定義されている。
以下の問いに答えよ。
(1) 数列
の一般項を求めよ。 (2) 数列
が等比数列となるとき、kの値を求めよ。ただし、
とする。 (3) 問(2)で求めたkの値を用いて、数列
の一般項を求めよ。 (4) 問(1)，(3)の結果を用いて、数列
および
の一般項を求めよ。
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解答 連立漸化式の基本問題です。連立漸化式の主要な解法は、
の3通りあります。本問では、解法1で解くように誘導がついています。最後に、別解として、解法2，解法3でもやってみます。
･･･①
･･･②
(1) ①－②より、
(
)
......[答] ･･･③
(2) ①＋②×kより、
(
)
として、
･･･④
･･･⑤
より、
......[答]注．⑤を解くと
という解も得られますが、
のときには、(1)の等比数列になります。数列
が等比数列になるというヒントがなくても、数列
が等比数列になるようにkの値を定めれば、(1)の等比数列の形が得られることに注意してください。
(3) 
のとき、④は、 数列
は、初項：
，公比：8の等比数列です。 
......[答] ･･･⑥
(4) ③×2＋⑥より、
∴ 
......[答]⑥－③より、 ∴ 
......[答]
別解1．3項間漸化式に持ち込んで解答してみます。まず、①において、
として、 ②を代入すると、
･･･⑦①より、
･･･⑧⑦に代入して、
∴ 
･･･⑨
特性方程式：
∴ 
⑨ ⇔ 
は、初項：
，公比：
の等比数列です。 
･･･⑩
･･･⑪⑪－⑩より、
∴ 
⑧に代入して、
別解2．行列の累乗を利用してみます。①，②を行列を使って書くと、 
･･･⑫これより、行列Aが固有値8，
をもつことがわかります。この2つの固有値を使って、 をみたす行列P，Qを求めると、
･･･⑬
･･･⑭これらを用いて、
これより、⑬，⑭を用いて、
注．(2)の⑤が重解をもつ場合(このとき、3項間漸化式の特性方程式も重解をもちます。また、⑫も
の形となり、固有値は1個だけになります)、例えば、
のような場合、⑮＋⑯×kより、
(
) ･･･⑰
のとき
が等比数列となります。
∴ 
のとき、⑰は、
は、初項：
，公比：2の等比数列です。
このときには、等比数列の形を2通り作ることができません。⑮において、
･･･⑱
で割って、
は、初項：
，公差：
の等差数列で、
∴ 
⑱より、
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，
，
，
(
)
であれば、
は公比
の等比数列になります。
，
を消去することを考えます。
として、
は、初項：
，公比：8の等比数列です。
，
より、
，
，･･･，
，
･･･⑮
･･･⑯
は、初項：
，公比：
の
なので、
を求めます。行列の累乗は