兵庫県立大数学'10年[3]
数直線上の原点に点Aがある。点Aは次の規則に従って数直線上を正の向きに動いていく。
「Aが座標kの位置にあるとき数直線上の正の向きに1進む確率が
，正の向きに2進む確率が
である。」 点Aが座標nの位置に立ち寄る確率を
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
を
で表せ。 (3) 
を求めよ。
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解答 確率と数列の融合問題ですが、見慣れない漸化式が出てきます。予測して数学的帰納法で証明しておきましょう。
(1) Aが原点にいるとき1進む確率は、問題文中の規則で
として1となるので、原点にいるときには次は必ず座標1に来ます。つまり、
Aが座標1にいるとき、1進んで座標2に行く確率は
，2進む確率は
，2進むと座標3に行き座標2には立ち寄らないので、
Aは確率
で座標2に来て、さらに1進む確率は
で、このとき座標3に来ます。
座標3に立ち寄る確率は、
......[答]
(2) Aが座標nに立ち寄るとき(確率
)、ここからさらに1進んで座標
に行く確率は
Aが座標nに立ち寄らないとき(確率
)には、必ず座標
に立ち寄ります。
よって、座標
に立ち寄る確率
は、 
......[答]
これよりmを自然数として、
のとき、
のとき、
と予測できます。
のとき、
，
より予測は成り立ちます。
ある自然数mで予測が成り立つとして、(2)の漸化式を用いて、 よって帰納的に、予測は成り立ちます。
のとき
より、
これより、nが奇数のとき
，nが偶数のとき
......[答]
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