東北大理系数学'10年後期[1]

n2以上の自然数とする。を満たす実数とする。を任意に並べ替えたものとするとき、
が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。


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解答 数学的帰納法に持ち込む部分に一工夫必要な問題です。なお、'87年東大理系[5]で、としてを証明する問題が出題されています。

(T) のとき、


 ( )
(i) のときには、
(ii) のときには、
 ( )
(i)(ii)より、
与不等式は成り立ち、等号成立は、(i)より、 ()のときです。
(U) のとき、与不等式が成り立つと仮定します。つまり、
となる任意の数列について、
 ・・・@
が成り立ち、また、等号成立は、 ()のとき、と仮定します。
(i) のとき、
@の両辺に、を加えることにより、
 ・・・A
が成り立ち、等号成立は、 ()のときです。
(ii) @のm項からなる数列においてであったものを、新たに (jkは、を満たす整数)として得られる、項から成る数列を考えます。これで、となる任意の数列を構成することができます。
として、@の両辺に、

を加えると、右辺は、の第k項目を元のから、新たな数列の項を使ってできるに入れ替え、さらにを付加することになるので、となる項を除いた和だとして、


 ・・・B (@の数列とBの数列は第k項目が異なることに注意してください)
以上より、

 ・・・C
ここで、仮定により、
 (は@ののことです)
Cの残りの部分は、

 ( )


 ( )
よって、Cより、
(i)(ii)より、
が成り立ち、等号成立は、 ()のときです。
よって、のときにも与不等式は成立します。
(T)(U)より、2以上の自然数に対して、
が成り立ちます。また、等号は、 () ......[] のときに成立します。

別解.より、
 ・・・D
です。
を任意に並べ替えたものとするとき、
2個ずつ選んで大きい順になるように並べ替えていくと、有限回(高々)の並べ替えでになります。
そこで、のうちの
2 (jkは、を満たす整数)を選んで、であれば、であれば、,他の (iは、を満たす整数)については、となるようにして、新たなを作ると、

 ( )
となることから、Dが言えます。


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