阪大理系数学'13年前期[3]

4個の実数
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 ぱっと見には方針が立ちませんが,素数を22以外に分けると、偶数か奇数か、ということになり、それなら、3の倍数かどうかと調べてゆくと、嫌でも解決してしまいます。なお、整数を参照してください。

だとすると、です。このとき、ですが、これは素数ではありません。
3以上の素数だとすると、は奇数でnは偶数です。
このとき、はいずれも奇数で、素数の可能性があり、偶奇を考えるだけでは題意を示すことができません。
そこで、
n3の倍数かどうかを考えてみます。
(i) nは偶数なのでkを偶数として、のとき、3の倍数で素数ではありません。
(ii) kを奇数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性があります。
3の倍数なので素数ではありません。
(iii) kを偶数として、のとき、
3の倍数ではなく、素数の可能性がありますが、
3の倍数なので素数ではありません。
以上ですべての自然数nの場合を尽くしているので、がすべて素数となるような正の整数nは存在しません。(証明終)


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。

【完全記憶術】円周率π(Pi)円周率表記〜「円周率(π)」を暗記するためにはじめに読むべき一冊〜
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。
inserted by FC2 system