大阪大学理系2021年数学入試問題
[1]　a，bををみたす正の実数とする。xy平面上の点Pから、曲線 ()に2本の接線を引き、その接点をQ，Rとする。ただし、とする。
(1) sおよびt をa，bを用いて表せ。
(2) 点Pが曲線上の，をみたす部分を動くとき、の最小値とそのときのa，bの値を求めよ。
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[2]　空間内に、同一平面上にない4点O，A，B，Cがある。s，tを，をみたす実数とする。線分OAを1：1に内分する点を，線分OBを1：2に内分する点を，線分ACをs：に内分する点をP，線分BCをt ：に内分する点をQとする。さらに4点，，P，Qが同一平面上にあるとする。
(1) t をsを用いて表せ。
(2) ，，，，，であるとき、sの値を求めよ。
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[3]　nを自然数とし、t ををみたす実数とする。
(1) のとき、不等式
が成り立つことを示せ。
(2) 不等式
が成り立つことを示せ。
(3) とおく。をみたすような実数p，qの値を求めよ。
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[4]　整数a，b，cに関する次の条件(＊)を考える。
　･･･(＊)
(1) 整数a，b，cが(＊)およびをみたすとき、cは3の倍数であることを示せ。
(2) のとき、(＊)およびをみたす整数の組の個数を求めよ。
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[5]　次の問いに答えよ。
(1) aを実数とする。xについての方程式の実数解のうち、をみたすものがちょうど1個あることを示せ。
(2) 自然数nに対し、かつをみたす実数xをとおく。t ををみたす実数とする。このとき、曲線C：上の点Pにおける接線が、不等式の表す領域に含まれる点においても曲線Cと接するための必要十分条件は、t が，，，･･･のいずれかと等しいことであることを示せ。
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