阪大理系数学'21年前期[3]

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nを自然数とし、t ををみたす実数とする。

(1) のとき、不等式

が成り立つことを示せ。

(2) 不等式

が成り立つことを示せ。

(3) とおく。をみたすような実数p，qの値を求めよ。

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解答　不等式を作ってはさみうちに持ち込むのですが、(3)は東工大2020[5]を思い出させる問題です。

(1) とおくと、

，のとき、より、，よって、において、は単調減少です。よって、において、

∴ 　･･･�@

とおくと、

　()

よって、において、は単調増加です。これより、

よって、は単調増加です。従って、

∴ 　･･･�A

�@，�Aより、において、

(2) (1)の結果より、

左辺は、
右辺は、
中辺は、

以上より、

(3) 　･･･�B　です。

となるので、　･･･�C　です。が有限確定値に収束すれば�Cは言えるので、だろうということになります。
さて、(2)の結果で、，，，･･･，としてみます。
とすると、
とすると、
とすると、
　　　　　　　　･･････
とすると、

辺々加え合わせると、，また、　･･･�D

とおくと、�Bより、

　･･･�E

ここで�Dについて、

　･･･�F

また、　･･･�G
�E，�Gより、
nをかけて、変形すると、
ここで、とすると、�Fより、，
はさみうちの原理より、
よって、， ......[答]

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