阪大理系数学'21年前期[3]
nを自然数とし、t を
をみたす実数とする。
(1) 
のとき、不等式 が成り立つことを示せ。
(2) 不等式
が成り立つことを示せ。
(3) 
とおく。
をみたすような実数p，qの値を求めよ。
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解答 不等式を作ってはさみうちに持ち込むのですが、(3)は東工大2020[5]を思い出させる問題です。
，
のとき、
より、
，よって、
において、
は単調減少です。よって、
において、
∴ 
･･･①
とおくと、よって、
において、
は単調増加です。これより、 よって、
は単調増加です。従って、 
∴ 
･･･②①，②より、
において、
(2) (1)不等式の各辺を
の範囲で積分すると(定積分と不等式を参照)、 以上より、
(3) 
･･･③ です。 となるので、
･･･④ です。
が有限確定値に収束(数列の極限を参照)すれば④は言えるので、
だろうということになります。
さて、(2)の結果で、
，
，
，･･･，
としてみます。
とすると、
とすると、
とすると、
･･････
とすると、
辺々加え合わせると、 また、
･･･⑤
とおくと、③を用いて、 
･･･⑥ここで⑤について、
･･･⑦各辺から
を引いて変形すると、
ここで、
とすると、⑦より、
，
はさみうちの原理より、
よって、
，
......[答]
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)
･･･⑧
をかけて、
