阪大理系数学'21年前期[4]
整数a，b，cに関する次の条件(＊)を考える。
･･･(＊)(1) 整数a，b，cが(＊)および
をみたすとき、cは3の倍数であることを示せ。 (2) 
のとき、(＊)および
をみたす整数の組
の個数を求めよ。
解答 積分計算の問題と思いきや整数の問題です。
(1) 
(＊)より、
6をかけて整理すると、
より、
･･･①
，
とおくと、a，bは整数なので、m，nも整数です。①より、
･･･②これより、m，nのいずれかは、3の倍数です。k，lを整数、
，
として、a，bを、
，
と表すことができます。 
･･･③
が3の倍数のときですが、こうなるのは、
，
，
のいずれかのときだけです。また、nが3の倍数になるのは、
が3の倍数のときですが、これも、
，
，
のいずれかのときだけです。つまり、mが3の倍数になるときには、nも3の倍数であり、nが3の倍数になるときには、mも3の倍数であって、
は9の倍数です。このとき、②より、
は3の倍数であり、cは3の倍数です。
(2) 
②より、
(1)で書いたように(＊)が成り立つとき、m，nはともに3の倍数なので、
，
を整数として、
，
とおくと、 
∴ 
より、
，
より、
なので、
です。これより、整数
は、
の約数のどれでもよく、
に対して
はただ1通りに決まり、
，
に対して、③より、を連立して解くことにより、a，bがただ1通りに決まります。よって、整数の組
の個数は、整数
の取り方の数と一致し、
の約数の個数に一致します。よって、整数の組
の個数は、
個 ......[答]
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