大阪大学理系2022年数学入試問題

大阪大学理系2022年数学入試問題
[1]　rを正の実数とする。複素数平面上で、点zが点

を中心とする半径rの円周上を動くとき、

を満たす点wが描く図形を求めよ。
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[2]　

とする。以下の問いに答えよ。

(1)

であることを示せ。

(2)

とするとき、

が成り立つことを示せ。

(3)

は無理数であることを示せ。

[3]　正の実数t に対し、座標平面上の2点P

とQ

を考える。t が

の範囲を動くとき、座標平面内で線分PQが通過する部分を図示せよ。
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[4]　

とする。以下の問いに答えよ。

(1) 方程式

は、

の範囲でただ1つの解をもつことを示せ。

(2) (1)の解をαとする。実数xが

を満たすならば、次の不等式が成り立つことを示せ。

(3) 数列

を

，

(

)

で定める。このとき、すべての自然数nに対して、

が成り立つことを示せ。

(4) (3)の数列

について、

を示せ。

[5]　座標平面において、t を媒介変数として

，

　(

)

で表される曲線をCとする。曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
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