阪大理系数学'22年前期[5]

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座標平面において、t を媒介変数として

，　()

で表される曲線をCとする。曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

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解答　媒介変数表示された関数のグラフの面積を計算する問題です。

　･･･�@

とすると、，においては

　･･･�A

とすると、，においては
のとき、，
のとき、(とおきます)，(とおきます)
のとき、(とおきます)，(とおきます)
のとき、，
増減表は、以下のようになります。

t	0						π
	＋	＋	0	−	−	−	−
x							0
	＋	＋	＋	＋	0	−	−
y	0						0

増減表より、曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積Sは、曲線Cのの部分とx軸の間に挟まれた部分の面積から、曲線Cのの部分とx軸の間に挟まれた部分の面積を引いたものです。

とおくと、�@より
においては、x：のときt：
においては、x：のときt：

第1項の積分は、
第2項の積分は、より、

∴ ......[答]

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