種々の関数のグラフ(7)

この項目は、微分の公式関数の増減関数の凹凸を参照してください。
例.媒介変数表示された関数 
(tは全実数)のグラフ
慶大理工で
'95年に出題された関数です。
tが全実数をとるとき、xも全実数(定義域)をとります。yの範囲は、より、 (値域)
x
yをそれぞれtで微分すると、


媒介変数表示された関数の微分法より、 ・・・@ (xで表し直す必要はありません)
のとき、が定義できないのですが、このとき、 (における接線はx軸に垂直になります)
とすると、,このとき、 (極大値)
媒介変数表示された関数で2次の導関数をどのように求めるか、問題になることがあります。
@式は、
tの関数の形に表されているので、xで微分することができません。しかし、tについてなら微分できます。
そこで、
合成関数の微分法により、tで微分したものに、をかけて、とします。
は、
txの式で表して微分したりしなくても、逆関数の微分法により、とすればよいのです。
@式両辺を
tで微分すると、
結局、
とすると、となりますが、このとき、です。
以上より、増減表を作りますが、媒介変数表示された関数の場合、増減表の書き方に個人差があり、人によって、参考書によって、さまざまな書き方があります。それぞれ一長一短があって、問題の要求に合わせて使い分けられるとよいのですが、このウェブ・サイトでは、下記の書き方で統一します。
一番上の欄に、媒介変数の動きを、小さい方から大きい方へ向かって書きます。
次の欄に、の正負などを調べて書き込みます。
その下に、の正負に合わせて、
xの増減、極値などを書き込みます。
この下に、通常の増減表と同じく、
yの動きを書いてゆきます。
この書き方では、一括して、
txyの動きを見てゆけるのですが、が負の値もとるときに、xが小さい方から大きい方へ並ばずに、大きい方から小さい方へ向かって並ぶ部分ができてしまい、増減表を右から左に向かって見る必要がある変則的な場合が出てきます。
この例では、わかりやすいように、となって、
xが小さい方から大きい方へ並ぶ関数を取り上げてありますが、東大の入試問題(‘93年理系前期[6])では、xが逆に並ぶところが出てくるような関数も見られます。
グラフは右上に示しました。

t
0

1
0
x12
×0
×0
y00


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