高次方程式

xに関するn次の多項式だとして、n次方程式と言う。
3次以上の方程式を特に、高次方程式と呼ぶ。

自然数nに対して、複素数係数のn次方程式が複素数の範囲に少なくとも1つの解を有することがガウスにより証明されています。
この事実を使うと、
n次方程式が複素数を解に持てば、なので、因数定理より、と因数分解できます。
次方程式も同様に複素数の範囲に少なくとも1つの解をもつので、と因数分解できます。
これを繰り返してゆけば、
の形に因数分解されて、n次方程式が複素数の範囲にn個の解、,・・・,を持つことがわかります。
この事実は、入試では既知として良いでしょう。

n次方程式のn個の解の中には、一致してしまうものが出てくることがあります。
異なる
ij ()について、となる解があれば、これを2重解と言います。
異なる
ijk ()について、となる解があれば、これを3重解と言います。

実数係数の
n次方程式: (,・・・,は実数)が虚数解zを持つとすると、
()
より(共役複素数を参照)

 
 
 
つまり、実数係数のn次方程式:が虚数解zを持てば、もまた解になります。

以下、
iを虚数単位として、2次方程式:の解は、
2
次方程式:の解は、
2
次方程式:の解は、
3
次方程式:の解は、
3
次方程式:の解は、

例.abは実数だとする。4次方程式:が、を解に持つとき、abの値を定めて、残りの解を求めよ。
[解答] 実数係数の4次方程式なので、を解に持てば、も解になります。
2解の和:42解の積:,解と係数の関係より、を解に持つ2次方程式は、 ・・・@ です。
4次方程式の定数項は55で、@の定数項は11なので、より、4次方程式の左辺は、
・・・A
と因数分解できるはずです。
Aの右辺を展開したときの
の項は、となるはずです。



 
より、 ......[]
また、の解は、
求める残りの解は、 ......[]


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