一橋大学2005年前期数学入試問題

一橋大学2005年前期数学入試問題
[1]　kは整数であり、3次方程式

は3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。
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[2]　原点を中心とする半径1の円をCとし、

，

とする。
A

とN

を通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをPとおく。また、B

とNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをQとおく。

(1) Pの座標をaで表せ。

(2) AQ // PBのとき、

となることを示せ。

(3) AQ // PB，

のとき、aの値を求めよ。

[3]　

をみたすq と正の整数mに対して、

を次のように定める。

(1)

を求めよ。

(2) q が

の範囲を動くとき、

の最大値を求めよ。

(3) mがすべての正の整数を動き、q が

の範囲を動くとき、

の最大値を求めよ。

[4]　aを定数とし、xの2次関数

，

を次のように定める。

，

(1) 2つの放物線

と

が2つの共有点をもつようなaの範囲を求めよ。

(2) (1)で求めた範囲に属するaの値に対して、2つの放物線によって囲まれる図形を

とする。

の面積をaで表せ。

(3) aが(1)で求めた範囲を動くとき、少なくとも1つの

に属する点全体からなる図形の面積を求めよ。

[5]　AとBの2人があるゲームを繰り返し行う。1回ごとのゲームでAがBに勝つ確率はp，BがAに勝つ確率は

であるとする。n回目のゲームで初めてAとBの双方が4勝以上になる確率を

とする。
(1)

をpとnで表せ。
(2)

のとき、

を最大にするnを求めよ。
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