一橋大学
2005
年前期数学入試問題
[1]
k
は整数であり、
3
次方程式
は
3
つの異なる整数解をもつ。
k
とこれらの整数解をすべて求めよ。
[
解答へ
]
[2]
原点を中心とする半径
1
の円を
C
とし、
,
とする。
A
と
N
を通る直線が
C
と交わる点のうち
N
と異なるものを
P
とおく。また、
B
と
N
を通る直線が
C
と交わる点のうち
N
と異なるものを
Q
とおく。
(1) P
の座標を
a
で表せ。
(2) AQ // PB
のとき、
となることを示せ。
(3) AQ // PB
,
のとき、
a
の値を求めよ。
[
解答へ
]
[3]
をみたす
q
と正の整数
m
に対して、
を次のように定める。
(1)
を求めよ。
(2)
q
が
の範囲を動くとき、
の最大値を求めよ。
(3)
m
がすべての正の整数を動き、
q
が
の範囲を動くとき、
の最大値を求めよ。
[
解答へ
]
[4]
a
を定数とし、
x
の
2
次関数
,
を次のように定める。
,
(1) 2
つの放物線
と
が
2
つの共有点をもつような
a
の範囲を求めよ。
(2) (1)
で求めた範囲に属する
a
の値に対して、
2
つの放物線によって囲まれる図形を
とする。
の面積を
a
で表せ。
(3)
a
が
(1)
で求めた範囲を動くとき、少なくとも
1
つの
に属する点全体からなる図形の面積を求めよ。
[
解答へ
]
[5]
A
と
B
の
2
人があるゲームを繰り返し行う。
1
回ごとのゲームで
A
が
B
に勝つ確率は
p
,
B
が
A
に勝つ確率は
であるとする。
n
回目のゲームで初めて
A
と
B
の双方が
4
勝以上になる確率を
とする。
(1)
を
p
と
n
で表せ。
(2)
のとき、
を最大にする
n
を求めよ。
[
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