一橋大数学'05年前期[5]
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AとBの2人があるゲームを繰り返し行う。1回ごとのゲームでAがBに勝つ確率はp，BがAに勝つ確率は
であるとする。n回目のゲームで初めてAとBの双方が4勝以上になる確率を
とする。
(1) 
をpとnで表せ。 (2) 
のとき、
を最大にするnを求めよ。
解答 n回目のゲームで「初めて」AとBの双方が4勝以上、という問題文の「初めて」という言葉に注意しましょう。
(1) n回目のゲームで初めてAとBの双方が4勝以上になるのは、
回目までのゲームでAが3勝しBが
(
)勝していてn回目にAが勝つか、Bが3勝しAが
(
)勝していてn回目にBが勝つ場合です。 
の場合は、AとBの双方が4勝以上することはあり得ないので、
......[答]
(2) 
として、
のとき、 
としてみると、
，
∴ 
従って、
においては、
，つまり、
です。
∴ 
のときには
なので、
を最大にするnは、 
......[答]
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の場合、その確率は