一橋大数学'06年前期[1]

次の条件(a)(b)をともにみたす直角三角形を考える。ただし、斜辺の長さをp、その他の2辺の長さをqrとする。
(a) pqrは自然数で、そのうちの少なくとも2つは素数である。
(b)
(1) qrのどちらかは偶数であることを示せ。
(2) pqrの組をすべて求めよ。

解答 ピタゴラス数を題材とする整数問題です。(1)背理法で示します。

三平方の定理より、
 ・・・@
が成立します。


(1) qrがともに奇数だと仮定します。
も奇数なので、は偶数であり、pも偶数です。pが偶数なら4の倍数です。
cdを自然数として、
とおくことができますが、

であり、4の倍数にならず、矛盾が起きます。
ということは、
qrがともに奇数だとした仮定は誤りであり、qrのどちらかは偶数です。

(2) (1)よりqrのどちらかは偶数なので、rを偶数だとして、
(eは自然数)
とおきます。
@より、
 ・・・A
pqがいずれか一方が奇数で他方が偶数だとすると、はともに奇数でに等しくなることはありません。よって、pqはともに奇数かともに偶数で(ともに偶数だと条件(a)に反するのでともに奇数です)はともに偶数です。
kmを自然数だとして、
 (より) ・・・B
とおくと、Aより、

s
tを自然数として、とおくと、
ここで、なのでということはあり得ません。よって、次の(i)(ii)2つの可能性が考えられます。
(i) のとき、Bより、
pqについて解くと、

なので、条件(a)より、に限られます。条件(b)より、
よって、この場合には条件をみたすpqrの組はありません。
(ii) (より)のとき、Bより、

条件(b)より、

t
66の約数ですが、をみたすのは、のみです。
このとき、
上記では、
rを偶数として考えてきましたが、qが偶数だとしても、全く同様にして、
条件をみたす
pqrの組は、 ......[]

追記.上記では、条件(a)がついているので、(i)の場合から答が出てきませんでしたが、条件(a)を外すと、(i)として、となる組が得られます。よく知られた3辺の比が543となる直角三角形です。
をみたす自然数の組をピタゴラス数などと呼ぶことがあります。例えば、

などが知られています。
上記の
(i)の場合は、条件(a)がついていてに限られるのであれば、(ii)の場合に含まれます。(ii)を見ていると、自然数stをもってきて、
とすると、ピタゴラス数となる自然数の組が得られることがわかります。実際、
です。

京大文系
'99後期[5]

自然数abcについて、等式が成り立ち、かつ、abは互いに素とする。このとき、次のことを証明せよ。
(1) aが奇数ならば、bは偶数であり、したがってcは奇数である。
(2) aが奇数のとき、となる自然数dが存在する。

(1)は、本問の(1)と同じです。
(2)は、本問(2)(i)の場合が、条件(a)があると(ii)の場合に含まれて、と表せる、というところから言えます。
京大理系
'92前期[6]では、ピタゴラス数を与える漸化式が出題されています。


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