一橋大学2007年前期数学入試問題
[1]　mを整数とし、とする。
(1) 整数aと、0ではない整数bで、をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。ただし、iは虚数単位である。
(2) (1)で求めたすべてのmに対して、方程式を解け。
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[2]　 数列，，を
，
，
，
と順に定める。放物線をとする。
(1) はx軸と2点で交わることを示せ。
(2) とx軸との交点を，とする。を求めよ。
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[3]　 放物線 ()をCとする。C上に異なる2点P，Qをとり、そのx座標をそれぞれp，q ()とする。
(1) 線分OQとCで囲まれた部分の面積が、△OPQの面積の倍であるとき、pとqの関係を求めよ。ただし、Oは原点を表す。
(2) Qを固定してPを動かす。△OPQの面積が最大となるときのpをqで表せ。また、そのときの△OPQの面積と、線分OQとCで囲まれた部分の面積との比を求めよ。
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[4]　 aを定数とし、とする。の範囲での最大値が105となるようなaをすべて求めよ。
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[5]　 1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが1枚、･･･、nが書かれたカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。この組から1枚を抜き出し元にもどす操作を3回行う。抜き出したカードに書かれた数をa，b，cとするとき、得点Xを次の規則(i)，(ii)に従って定める。
(i) a，b，cがすべて異なるとき、Xはa，b，cのうちの最大でも最小でもない値とする。
(ii) a，b，cのうちに重複しているものがあるとき、Xはその重複した値とする。
をみたすkに対して、となる確率をとする。
(1) をnとkで表せ。
(2) が最大となるkをnで表せ。
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