一橋大学
2007
年前期数学入試問題
[1]
m
を整数とし、
とする。
(1)
整数
a
と、
0
ではない整数
b
で、
をみたすものが存在するような
m
をすべて求めよ。ただし、
i
は虚数単位である。
(2) (1)
で求めたすべての
m
に対して、方程式
を解け。
[
解答へ
]
[2]
数列
,
,
を
,
,
,
と順に定める。放物線
を
とする。
(1)
は
x
軸と
2
点で交わることを示せ。
(2)
と
x
軸との交点を
,
とする。
を求めよ。
[
解答へ
]
[3]
放物線
(
)
を
C
とする。
C
上に異なる
2
点
P
,
Q
をとり、その
x
座標をそれぞれ
p
,
q
(
)
とする。
(1)
線分
OQ
と
C
で囲まれた部分の面積が、△
OPQ
の面積の
倍であるとき、
p
と
q
の関係を求めよ。ただし、
O
は原点を表す。
(2) Q
を固定して
P
を動かす。△
OPQ
の面積が最大となるときの
p
を
q
で表せ。また、そのときの△
OPQ
の面積と、線分
OQ
と
C
で囲まれた部分の面積との比を求めよ。
[
解答へ
]
[4]
a
を定数とし、
とする。
の範囲で
の最大値が
105
となるような
a
をすべて求めよ。
[
解答へ
]
[5]
1
が書かれたカードが
1
枚、
2
が書かれたカードが
1
枚、・・・、
n
が書かれたカードが
1
枚の全部で
n
枚のカードからなる組がある。この組から
1
枚を抜き出し元にもどす操作を
3
回行う。抜き出したカードに書かれた数を
a
,
b
,
c
とするとき、得点
X
を次の規則
(i)
,
(ii)
に従って定める。
(i)
a
,
b
,
c
がすべて異なるとき、
X
は
a
,
b
,
c
のうちの最大でも最小でもない値とする。
(ii)
a
,
b
,
c
のうちに重複しているものがあるとき、
X
はその重複した値とする。
をみたす
k
に対して、
となる確率を
とする。
(1)
を
n
と
k
で表せ。
(2)
が最大となる
k
を
n
で表せ。
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