一橋大学2007年前期数学入試問題

[1]
 mを整数とし、とする。
(1) 整数aと、0ではない整数bで、をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。ただし、iは虚数単位である。
(2) (1)で求めたすべてのmに対して、方程式を解け。
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[2]  数列


と順に定める。放物線とする。
(1) x軸と2点で交わることを示せ。
(2) x軸との交点をとする。を求めよ。
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[3]  放物線 ()Cとする。C上に異なる2PQをとり、そのx座標をそれぞれpq ()とする。
(1) 線分OQCで囲まれた部分の面積が、△OPQの面積の倍であるとき、pqの関係を求めよ。ただし、Oは原点を表す。
(2) Qを固定してPを動かす。△OPQの面積が最大となるときのpqで表せ。また、そのときの△OPQの面積と、線分OQCで囲まれた部分の面積との比を求めよ。
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[4]  aを定数とし、とする。の範囲での最大値が105となるようなaをすべて求めよ。
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[5]  1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが1枚、・・・、nが書かれたカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。この組から1枚を抜き出し元にもどす操作を3回行う。抜き出したカードに書かれた数をabcとするとき、得点Xを次の規則(i)(ii)に従って定める。
(i) abcがすべて異なるとき、Xabcのうちの最大でも最小でもない値とする。
(ii) abcのうちに重複しているものがあるとき、Xはその重複した値とする。
をみたす
kに対して、となる確率をとする。
(1) nkで表せ。
(2) が最大となるknで表せ。
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