一橋大数学'07年前期[1]
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mを整数とし、
とする。
(1) 整数aと、0ではない整数bで、
をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。ただし、iは虚数単位である。 (2) (1)で求めたすべてのmに対して、方程式
を解け。
解答
(1) 
とおくと、 よって、
も
の解です。
，
を2解とする2次方程式を求めます。
，
を2乗すると、 これが、z，
を2解とする2次方程式です。
を
で割ると割り切れるはずですが、商は
，余りについて、 よって、
･･･①
･･･②②より、
と
は60の約数(整数を参照)で、
より
∴ 
これを満たす整数aであって、
(偶数です)が60の約数となるものを探します。 bが整数にならず不適。
bが整数にならず不適。
∴ 
①より、
･･･④ bが整数にならず不適。
∴ 
①より、
･･･⑤ 
となり不適。
となり不適。
となり不適。・これ以外に
が60の約数となる場合はありません。
④，⑤より、
......[答]
......[答]
......[答]
[別解] 3次方程式の解と係数の関係を利用することもできます。
，
以外の解をcとして、3次方程式の解と係数の関係より、
⑥より、
⑦，⑧に代入して、
となり、①，②が出てきます。
以降は、上記と同じようにすればよいのですが、(2)では、方程式を解かなくても、
からすぐに3つめの解が得られます。
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のとき、
は60の約数で、②より
のとき、
は60の約数で、②より
のとき、
は60の約数で、②より
のとき、
は60の約数で、②より
のとき、
は60の約数で、②より
のとき、
は60の約数で、②より
のとき、
は60の約数で、②より
のとき、
は60の約数で、②より
のとき、④より、
，
，方程式は、
のとき、⑤より、
，
，方程式は、
･･･⑥
･･･⑦
･･･⑧
