一橋大学2008年前期数学入試問題

一橋大学2008年前期数学入試問題
[1]　kを正の整数とする。

をみたす整数nが、ちょうど1個であるようなkをすべて求めよ。
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[2]　3次方程式

は異なる3つの解p，q，rをもつ。さらに、

，

も同じ方程式の異なる3つの解である。a，b，c，p，q，rの組をすべて求めよ。
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[3]　aを正の実数とする。点

が、不等式

の定める領域を動くとき、常に

となる。aの値の範囲を定めよ。
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[4]　正四面体OABCの1辺の長さを1とする。辺OAを2：1に内分する点をP，辺OBを1：2に内分する点をQとし、

をみたすtに対して、辺OCをt：

に内分する点をRとする。
(1) PQの長さを求めよ。
(2)

の面積が最小となるときのtの値を求めよ。
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[5]　nを3以上の整数とする。

枚のカードがあり、そのうち赤いカードの枚数は6，白いカードの枚数は

である。これら

枚のカードを、箱Aと箱Bにn枚ずつ無作為に入れる。2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうどk枚入っている確率を

とする。
(1)

をnの式で表せ。さらに、

を最大にするnをすべて求めよ。
(2)

をみたすnをすべて求めよ。
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