一橋大数学'08年前期[3]


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aを正の実数とする。点が、不等式の定める領域を動くとき、常にとなる。aの値の範囲を定めよ。
解答　まず、
⇔ “ かつ ”　･･･①
の定める領域を調べます。
境界線は、
　･･･②　と　　･･･③
です。
②，③を連立すると、

∴
よって、①をみたす領域は、右図黄緑色着色部分(境界線含む)のように、において、放物線から上でかつ直線から下の領域です。

⇔ “ かつ ”　･･･④
をみたす領域は、右図黄色着色部分(境界線含む)のように、放物線　･･･⑤　から上でかつ放物線　･･･⑥　から下の領域です。
「点が、不等式の定める領域を動くとき、常にとなる」　･･･(＊)
というのは、①で定まる領域が、④で定まる領域の中にスッポリと入ってしまう、ということです。
図を見ると、このためには、①の境界線のの部分が領域④に入ってしまえばよいことがわかります。
さらに、①の境界線のの部分が④に入ってしまうためには、①の左端の点，右端の点が⑥から下にあり、②のの部分が⑤から上に来ればよいことになります。つまり、
(＊) ⇔
(i) が⑥から下：
かつ
(ii) が⑥から下：
かつ
(iii) において、

(i)より、
∴ 　･･･⑦
(ii)より、
∴ 　･･･⑧
(iii)より、において、
整理して平方完成すると(2次関数を参照)、
このためには、⑧よりなので、
∴ ，　･･･⑨

⑦かつ⑧かつ⑨より、
......[答]


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