一橋大数学'09年前期[5]

XYZと書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この中から1枚のカードが選ばれたとき、xy平面上の点Pを次の規則にしたがって移動する。
Xのカードが選ばれたとき、Px軸の正の方向に1だけ移動する。
Yのカードが選ばれたとき、Py軸の正の方向に1だけ移動する。
Zのカードが選ばれたとき、Pは移動せずそのままの位置にとどまる。
(1) nを正の整数とする。最初、点Pを原点の位置におく。XのカードとYのカードから無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i) n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii) Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。
(2) nを正の3の倍数とする。最初、点Pを原点の位置におく。Xのカード、Yのカード、Zのカードの3枚のカードから無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i) n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii) Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。

解答 (2)(ii)2次元的になっているところで確率の最大を考えるので、ていねいに調べれば解答できますが手間がかかります。こういう問題では、(1)(2)(i)を確実に抑えるように心がけましょう。

(1)(i) n回試行を行ったとき、Xのカードをm回引いたとすると、Yのカードは回引くことになります。このとき、Pの到達する点はです。
mは、通りの整数をとりうるので、Pが到達可能な点の個数は ......[]
(ii) Pに到達する確率は、n回の試行中、mXを引き、Yを引く確率で、反復試行の公式より、
mの範囲で動かすときのの最大を考えるために、の比をとってみます。
とすると、
よって、においては、
においては、
においては、
が整数になるかどうかで場合分けします。
nが偶数のとき、は整数ではありません。よって、
となり、が最大で、Pが到達する確率が最大の点は、
nが奇数のとき、は整数です。よって、
となり、が最大で、Pが到達する確率が最大の点は、
以上より、Pが到達する確率が最大の点は、
nが偶数のときnが奇数のとき ......[]

(2)(i) n回試行を行ったとき、Xのカードをm回引き、Yのカードを回引いたとすると、Zのカードは回引くことになります。このとき、Pの到達する点はです。
より、
これをみたすは、のとき
1通り、のとき2通り、・・・、のときn通り、のとき通りあります。Pが到達可能な点の個数は、
......[]
(ii) Pに到達する確率は、n回の試行中、mXYZを引く確率で、
 (同じものを含む順列を参照)
ここで、mが勝手に動くのでは考えにくいので、まず、

として
kを固定して考えることにします(直線上の格子点について確率を比較します)。こうすると(1)の結果を利用することができます。
とおくと、
(1)と同様にして、
kが偶数のとき、
(とおく)
が最大です。
kが奇数のとき、
(とおく)
が最大です。
今度は、k0からnまで動かしたときの、の最大を考えます。
kが偶数()のとき、
とすると、


 ・・・@
を解くと
複号はプラスのときにとなり、マイナスのときにとなります。
より、

 ・・・A
@をみたすkの範囲は、
ですが、Aより、においてはにおいてはとなります。よって、
となり、が最大になります。
kが奇数()のとき、
とすると、


においては、
従って、においては
においては
においては
よって、
となり、が最大になります。
kが偶数の場合の最大値と奇数の場合の最大値を比較すると、

以上より、Pが到達する確率が最大となるのは、のときで、
確率を最大とする点は、
......[]


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