一橋大学2010年前期数学入試問題
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[1] 実数p，q，rに対して、3次多項式
を
と定める。実数a，c，および0でない実数bに対して、
とcはいずれも方程式
の解であるとする。ただし、iは虚数単位を表す。
(1) 
のグラフにおいて、点
における接線の傾きを
とし、点
における接線の傾きを
とする。
のとき、
と
の大小を比較せよ。 (2) さらに、a，cは整数であり、bは0でない整数であるとする。次を証明せよ。
(i) p，q，rはすべて整数である。
(ii) pが2の倍数であり、qが4の倍数であるならば、a，b，cはすべて2の倍数である。
[解答へ]
[2] aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線
とそれぞれ点A，点Bで接している。
(1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線
上にあることを示せ。 (2) 直線ABの方程式が
であるとき、a，mの値を求めよ。 [解答へ]
[3] 原点をOとするxyz空間内で、x軸上の点A，xy平面上の点B，z軸上の点Cを、次をみたすように定める。
ただし、Aのx座標，Bのy座標，Cのz座標はいずれも正であるとする。さらに、△ABC内の点のうち、Oからの距離が最小の点をHとする。また、
とおく。
(1) 線分OHの長さをtの式で表せ。
(2) Hのz座標をtの式で表せ。
[解答へ]
[4] 0以上の整数
，
が与えられたとき、数列
を
により定める。
(2) 
のとき、
は10の倍数であることを示せ。 [解答へ]
[5] nを3以上の自然数とする。サイコロをn回投げ、出た目の数をそれぞれ順に
，
，･･･，
とする。
に対して
となる事象を
とする。
(1) 
，
，･･･，
のうち少なくとも1つが起こる確率
を求めよ。 (2) 
，
，･･･，
のうち少なくとも2つが起こる確率
を求めよ。 [解答へ]
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，
，
，
のとき、
を10で割った余りを求めよ。