一橋大学2011年前期数学入試問題

[1]
(1) 自然数xyは、および
をみたす。xyの組をすべて求めよ。
(2) 自然数xyzは、および
をみたす。xyzの組をすべて求めよ。
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[2] Oを中心とする半径rの円周上に、2ABとなるようにとりとおく。この円周上に点Cを、線分OCが線分ABと交わるようにとり、線分AB上に点Dをとる。また、点Pは線分OA上を、点Qは線分OB上を、それぞれ動くとする。
(1) の最小値をrθ で表せ。
(2) とおく。の最小値をaθ で表せ。
(3) さらに、点Dが線分AB上を動くときのの最小値をrθ で表せ。
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[3] xy平面上に放物線C2APがある。線分APCは、Aとは異なる点Qを共有している。
(1) 定数pの存在する範囲を求めよ。
(2) を、Cと線分AQで囲まれた領域とし、を、C,線分QP,およびy軸とで囲まれた領域とする。の面積の和が最小となるpの値を求めよ。
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[4] abcを正の定数とする。空間内に3ABCがある。
(1) ABを底辺とするとき、△ABCの高さをabcで表せ。
(2) ABC,△OAB,△OBC,△OCAの面積をそれぞれSとする。ただし、Oは原点である。このとき、不等式
が成り立つことを示せ。
(3) (2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ。
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[5] AB2人が、1個のさいころを次の手順により投げ合う。
1回目はAが投げる。
123の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。
45の目が出たら、次の回には別の人が投げる。
6の目が出たら、投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない。
(1) n回目にAがサイコロを投げる確率を求めよ。
(2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。
(3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。
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