双曲線

標準形: ()
双曲線の定義:2定点(焦点と言う)からの距離の差が一定である点の集合を双曲線と言う。
双曲線は、
とすると、限りなく漸近線に接近していく。標準形で与えられる双曲線の場合、漸近線は、
特に、漸近線が直交する双曲線を、直角双曲線と言う。

双曲線の定義から、双曲線の方程式の標準形を導いてみます。
2焦点を、F2焦点までの距離の差を ()とします。
双曲線上の点
P2焦点までの距離の差は、


両辺を2乗すると、





 ・・・@ とおいて、両辺をで割ると、


ここで、とすると、
を双曲線の頂点と言います。

@式より、双曲線:
の焦点の座標について、 (右図青線参照)
双曲線の焦点がy軸上にくる場合には、2焦点からの距離の差がだとして、双曲線の方程式は、になります(xaの立場とybの立場が入れ換わると思えばよい。右図赤線参照)。このときにも、となります。

双曲線の方程式:
を満たす点に対して、xのところにを代入しても、yのところにを代入しても、双曲線の方程式は成り立ちます。ということは、双曲線は、x軸に関しても、y軸に関しても、原点に関しても対称だということです。

双曲線の方程式:
において、としたとき、右辺の1が相対的に小さくなるので、双曲線はに近づくことになり、より、双曲線は、漸近線:をもつと理解しておくとよいでしょう。
正確には、双曲線の方程式:
yについて解いて、
より、漸近線の傾きは、

 
 
より、漸近線のy切片は0
よって、漸近線は、
双曲線:の漸近線も同様に、です。

双曲線:
に接する傾きmの接線を求めてみます。
双曲線の方程式に
をかけて、
と連立して、
整理して、
この2次方程式は重解を持ちます(2次方程式の一般論を参照)
よって、判別式:
整理すると、


よって求める傾きmの接線は、

双曲線の方程式:の両辺を陰関数の微分法で微分すると、


双曲線上の点における接線の傾きは、
における接線は、
 ・・・A
は双曲線上の点なので、を満たすので、A式をで割ることにより、

よって、における接線は、
双曲線:における接線も同様に、です。


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