ハイポサイクロイド

として、媒介変数表示:で表される曲線をハイポサイクロイドと言う。
エピサイクロイドで、nに負の数を入れたものに相当する。

として、半径の円に内接したまま、半径bの円が滑ることなく回転していくときに、の周上の動点Pが描く曲線がハイポサイクロイドです。
の中心が原点Oで、円の中心が最初に右図の点Bにあって点Aで円に接しており、の周上の動点Pが最初に点Aにあるとします。
と内接しながら回転し、の中心Qが右図のように、となるような位置まで来たとします。このときに、 ()として、動点Pは、右図のように、となる位置まで来ます。
このとき、
がつねに接するように動くので、弧と弧の長さは等しくなります。
より、

の内側を1周したときに、動点Pがちょうどn周して点Aに戻ってくるものとする(これはハイポサイクロイドの必要条件ではありません)と、 (動点Pは負方向に回転していることに注意)が、のときに、 ()になります。よって、

 ・・・@
さて、右図において、
の中心Qは、半径aの円周上をx軸から角q だけ回った位置にあるので、

動点Pは、@より、半径の円の周上を右図でRから角だけ回った位置にあるので、


これより、点Px座標、y座標について、

という媒介変数表示が得られます。

のときは、より、Pの軌跡はx軸のの部分です。

のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。
のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。


とも書けるので、これは、アステロイドです。
のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。
上記のハイポサイクロイドの曲線の長さを求めてみます。
上に示すように、ハイポサイクロイドはへこんだ針金が円周の内側にへばりつくような形をしています。

 
   
 
動点Pの周上に来るのは、
とおくと、

k
を整数として、,つまり、のとき。
従って、針金1本分に相当する
q の範囲は、であって、本の同じ針金ができます。


 
  
 
 
()
求める曲線の長さは、

  (不定積分の公式を参照)
 
 


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