陰関数の微分法

の形に書かれている関数を陽関数の形に書かれている関数を陰関数と言います。
陽とか陰とか言っているのは、明るい、暗い、という意味ではなく、陽関数ははっきり見える形に明示された関数、陰関数は関数の形がはっきり見えない関数という意味で、英語では、陽関数のことを
explicit function,陰関数のことをimplicit functionと呼びます。
陰関数の形に表されている関数、例えば、円では、
が、陰関数表示になります。
これを陽関数表示すると、
または、ということになります。
陰関数表示では、
1つのxの値に対して2つ以上のyの値が対応する場合があります。大学の入試問題では、ほとんど気にしなくても大丈夫ですが、問題によっては、円の場合の±など気にする必要のある問題もあります。

の導関数(微分微分の公式を参照)は、となりますが、問題によっては、複雑になるときがあります。このようなときに、陰関数表示のまま微分してしまう方が便利な場合があります。
 ・・・@ の両辺をxで微分するときは、はそのまま微分してにします。の微分は、を微分するのと同じようなイメージで、合成関数の微分法で微分して、とします。右辺の1は微分すると0です。
結局、@の両辺を
xで微分した結果は、


となります。導関数の式の中に、xyが混じっていますが、xがわかればyもわかるので、この形のままで、増減も接線も調べることができます。


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