関数の増減

ある区間で定義された関数が、その区間内でを満たす任意のに対して、
を満たすとき、増加関数と言う。
を満たすとき、減少関数と言う。

開区間
において微分可能な関数が、この区間において、
(i) ならば、は増加関数
(ii) ならば、は減少関数
(iii) ならば、は定数関数

[証明] を満たす任意のに対して、関数は閉区間で連続、開区間で微分可能だから、平均値の定理の要件を満たします。
平均値の定理より、
を満たすcが存在します。
(i) ならば、より、は増加関数です。
(ii) ならば、より、は減少関数です。
(iii) ならば、が、を満たす任意のに対して成り立つので、は定数です。 (証明終)

上記の事実によって、増減表で、の区間に増加を表すマークを書き入れ、の区間に減少を表すマークを書き入れることになります。

例1 関数の増減を考えます。

のとき、
のときのとき
においてで増加,においてで減少,においてで増加となります。
増減表は以下のようになります。
x0
00
y0


例2 関数 ()の増減を考えます。


のとき、
のときのときのとき
のときで増加、のときで減少、のときで増加、のときで増加となります。
増減表は以下のようになります。
x0
000
y202




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