三角形の内心

三角形の各頂角の二等分線は1点で交わる。この点を内心と言う。

証明 
三角形
ABCの二等分線,の二等分線の交点をIとし、IからABBCCAに垂線IPIQIRを下ろします。
において、IB共通、より、
 ・・・@
において、IC共通、より、
 ・・・A
@,Aより、
これと、IA共通より、

よって、IAの二等分線であって、の二等分線、の二等分線,の二等分線は1Iで交わります。

三角形ABCの二等分線と対辺BCの交点をDとすると、BDDC = ABAC ・・・()であることが知られています。

これより、上記を平面ベクトルを用いて以下のように示すこともできます。
三角形
ABCの二等分線,の二等分線と対辺CAABとの交点をEF,また、BECFの交点をIとして、AIの延長とBCとの交点をDとします。
各辺の長さを、
として、
()より、 (ベクトルの内分・外分を参照)
より、BIIE = ,よって、
 ・・・B


 ・・・C として、Dが辺AB上の点であることから、
 (共線条件を参照)

Cに代入して、
これは、()より、DBCnmに内分する点であることを意味します(ベクトルの内分・外分を参照)。よって、ADの二等分線です。

なお、B式に、
を加えて、各頂点の位置ベクトル(ベクトルの1次独立を参照)を用いて表示し直すと、


これより、三角形ABCの内心の位置ベクトルを各辺の長さをとして、各頂点の位置ベクトルを用いて、ときれいな形に表すことができます。


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