不定積分

微分可能な関数があって、となるとき、つまり、導関数となるとき、原始関数と言う。
このとき、
と書くことにする。記号はインテグラル(integral)と読む。
の原始関数は一つに定まらない。の原始関数であるなら、Cを定数として、の原始関数である。
なぜなら、
,つまり、の導関数もとなるからである。
その意味で、
の原始関数のうちの一つだとして、と書き、C積分定数と言い、不定積分と言う。
から不定積分を求めることを、積分すると言う。
から導関数を求めることを微分すると言うが、これの逆演算、から原始関数 (C:積分定数)を求めることを積分すると言うので、微分と積分は逆の関係にある。

1.正確には、を不定積分と言います。大学入試の範囲では気にする必要はありません。大学入試の範囲では、原始関数と不定積分は同じ意味だと考えて大丈夫です。
2.不定積分の結果には必ず、積分定数Cをつけてください。つけなければ不十分解になります。
3は、の積だと考えてください(詳しくは、区分求積法を参照)

cを実数の定数だとして、


(C:積分定数)

(C:積分定数)

(C:積分定数)
一般に、n0以上の整数だとして、
(C:積分定数)


また、abを定数だとして、
よって、 (C:積分定数)

従って、不定積分の計算を以下のようにして行うことができます。
1abcを定数だとして、 (d:積分定数)
ちなみに、です。

注.一般に、
abcdを定数として、は成り立ちません。この場合には、次のように展開してから積分することになります。
(C
:積分定数)

2を通過する曲線:における接線の傾きがのとき、関数を求める。
[解答] 与えられた条件より、

  (C:積分定数)
を通過するので、


......[]


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