不定方程式   関連問題


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整数の定数abc ()について、を満たす整数の組を求める問題があります。これを1次不定方程式と言います。
xy平面上で直線を表しますが、1次不定方程式を満たす整数の組を求めることは、直線上の格子点を求めることに対応します。

abを互いに素な整数とします。
不定方程式: ・・・@
より、
xbの倍数で、整数kを用いて、とおけます。
より、
こうして@の整数解は、整数
kを用いて、

不定方程式: ・・・A
何らかの方法で特殊解が見つかったとします。
 ・・・B
A−Bより、
@の解と同様にして、
bの倍数で、整数kを用いて、とおけます。
より、
Aの整数解は、整数
kを用いて、

不定方程式: ・・・C
Cの
c1とした不定方程式:の特殊解がだとします。

両辺に
cをかけて、 ・・・D
C−Dより、
bの倍数で、整数kを用いて、とおけます。
より、
Cの整数解は、整数
kを用いて、

不定方程式A,不定方程式Cでは、まず、特殊解をどうやって見つけるかが問題になります。

のような簡単な不定方程式であれば、とすぐ見つかります。ですが、
 ・・・@
のような場合、と代入していっても簡単には見つかりません。
このときに有効な方法が、
Euclidの互除法です。
157÷682あまり21,つまり、 ・・・A
68÷213あまり5,つまり、 ・・・B
21÷54あまり1,つまり、 ・・・C
互除法を繰り返してあまりが
1 (15768の最大公約数が1,つまり、15768が互いに素、ということを意味しています)になったところで、Bから出発して、まず、Cの5のところに直前のBを代入します。

整理すると、 ・・・D
さらにDの
21のところに@を代入します。

整理すると、
元の不定方程式@と比較すると、が、@の特殊解を与えることがわかります。



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