不等式の表す領域

(1) 座標平面上で、の表す領域は、直線:より上側の部分
の表す領域は、直線:より下側の部分
の表す領域は、直線:から上側の部分(直線上の点を含む)
の表す領域は、直線:から下側の部分(直線上の点を含む)

(2)
座標平面上で、の表す領域は、曲線:より上側の部分
の表す領域は、曲線:より下側の部分
の表す領域は、曲線:から上側の部分(曲線上の点を含む)
の表す領域は、曲線:から下側の部分(曲線上の点を含む)

(2)
で、としたものが(1)なので、(2)を考えます。
の定義域に属するxの値を1つ持ってきてとします。
x軸に垂直な直線:上において、を満たすのは、点よりも上側の部分です。
逆に、直線:
上において、よりも上側にある点は、を満たします。
従って、座標平面上で、
の表す領域は、曲線:より上側の部分(曲線:上は含みません)です。
同様に、
の表す領域は、曲線:より下側の部分になります。

の表す領域は、曲線:上の点を含むので、曲線:から上側の部分になります。

不等式:
の表す領域は、
であれば、より、直線:より上側の部分
であれば、より、直線:より下側の部分
であれば、より、直線:より右側の部分
であれば、より、直線:より左側の部分

不等式:
の表す領域を、直線:正領域と言います。
不等式:
の表す領域を、直線:負領域と言います。

一般に、
xyを含む式だとして、曲線:を考えるとき、
不等式:
の表す領域を、曲線:の正領域と言います。
不等式:
の表す領域を、曲線:の負領域と言います。

不等式:
の表す領域を座標平面上に図示する問題で、abの正負により、領域が直線の上だったり、下だったり、右だったり、左だったりするので、ミスを抑えるために、以下のようにして領域図示を行います。
直線上にない点
1つ選びます(なるべく簡単な座標を選ぶこと)
を不等式に代入して、が成り立てば、は領域内の点です。領域を図示する場合には、直線:に関して、点を含む側に斜線を入れます。
が成り立たなければ、は領域外の点です。直線:に関して、点を含まない側に斜線を入れます。

例.の表す領域を図示します。
を代入すると、となり、不等式が成立するので、
直線:
に関してと同じ側が求める領域となります。
図示すると、右図青色斜線部
(境界線を含まない)

一般に、不等式:
の表す領域を図示するのに、曲線:上にない点を取ってきて、を不等式に代入したときに、
が成立するなら、点は領域内の点です。曲線:に関して、点を含む側に斜線を入れます。
が成立しないなら、点は領域外の点です。曲線:に関して、点を含まない側に斜線を入れます。


座標平面上で、の表す領域は、円:より外側です。
の表す領域は、円:より内側です。
の表す領域は、円:から外側です(円周上を含む)
の表す領域は、円:から内側です(円周上を含む)

の表す領域は、円の中心の座標、を不等式に代入すると成り立たないので、中心を含まない側となり、円:より外側です。
の表す領域は、を不等式に代入すると成り立つので、中心を含む側となり、円:より内側です。

複数の多項式
(実は、xyの関係式であれば、多項式でなくてもよい),・・・,の積に因数分解されるような式の正負で表される不等式、例えば、
・・・@
で表される領域を図示するとき
(各多項式:,・・・,は、正の値も負の値も取り得る多項式だとします)には、以下のように行います。
が境界線を与えます。
まず、境界線:
,・・・,を書き込みます。
各境界線上に来ない点
1つ選びます。
を不等式@に代入します。
が成り立てば、は領域内の点です。点を含む領域に斜線を入れます。
が成り立たないときは、は領域外の点です。点を含む領域には斜線は入りません。
この後は、ある領域に斜線が入る場合には、境界線を介して隣接する町域には斜線を入れず、
ある領域に斜線が入らない場合には、境界線を介して隣接する領域に斜線を入れます。
結局、市松模様のように、互い違いに斜線が入る感じになります。
不等式:
の表す領域では境界線を含みません。
不等式:
の表す領域では境界線を含みます。

例.不等式:の表す領域を図示します。
境界線は、
として、
これを、座標平面上に書き込みます(右図、図1)
境界線上に来ない点を
1つ、例えばを選びます。
を不等式に代入します。

となるので、は、与不等式を満たします。
ということは、
は領域内の点です。
を含む領域に斜線を入れます(右図、図2)
円:
,放物線:,直線:,直線:を介して隣接する領域には斜線は入りません。
以後は、境界線をまたぐごとに、斜線の入る、入らないが互い違いになるように斜線を入れてゆきます。
求める領域は、右図の図
3 青色斜線部(境界線は含まない)


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