不等式の証明

不等式の基本性質:
ABCDを実数値をとる式とする。
(1) かつ
(2)

(3)
かつ
(4)
かつ
(5) (
等号はのときに限り成立する)
(6) (
等号はのときに限り成立する)
(7)
かつ のとき、
(8)
かつ のとき、

(1)は、Bより大きいものはBより小さいものより大きいということです。
(2)は、ある不等式の両辺に同じものを加えても、同じものを引いても、不等式は成り立つということです。
(3)は、ある不等式の両辺に同じ正数をかけても不等式は成り立つということです。
(4)は、ある不等式の両辺に同じ負数をかけると不等号の向きが逆になるということです。
(5)は、実数の2乗は負にはならないと言っています。
(6)は、実数の2乗を加え合わせたものは負にはならないと言っています。実数の2乗の和が0になるのは、実数が全て0の場合です。
(7)は、0以上の実数同士の大小関係と2乗したものの大小関係は一致するということです。
(8)は、0以下の実数同士の大小関係と2乗したものの大小関係は入れ替わるということです。
いずれも、当然なことですが、証明問題などで発想できるかどうかが鍵になる重要事項です。

絶対値を含む不等式の問題では、

という事実をよく使います。

有名不等式
(以下において、abxyは実数だとする)

(1) 三角不等式:
(2)
相加平均・相乗平均の関係: (ただし、とする。等号はのときに成立)
(3)
コーシー・シュワルツの不等式:
(4)
のとき、

[証明](1) かつのとき、
かつのとき、
かつのとき、
かつのとき、
以上より、 ・・・@
ここで、
と書き換えると、
・・・A
@,Aより、
 (証明終)

(2)
より、 (等号成立は、つまりのとき) (証明終)

(3)
  (等号成立はのとき)
(等号成立はのとき) (証明終)

(4)
 
  (等号成立はまたはのとき)
 (等号成立はまたはのとき) (証明終)


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