内積

(1) 右図のように、2つのベクトルのなす角がq のとき、と書いて内積と言う。
 即ち、
(2)
のとき、 (ベクトルの成分表示を参照)
(3)
のとき、となり、
 であって、のとき、
(4)
が同一方向を向いていて、のなす角が0のときより、
 が正反対の方向を向いていて、のなす角がのときより、
 特に、

(1) 2つのベクトルのなす角q は、通常は、となるようにとります。またはのときは、なす角を測ることができませんが、とします。
(4)で、を、と書かないようにしてください。ベクトルには内積の他に、「外積」と呼ばれる積があって、内積としての2乗なのか、外積としての2乗なのかを区別することができません。内積としての2乗は、面倒でも、と書くようにしましょう。

(2)の証明 右上図で、点A,点Bとして、とします。
余弦定理より、
 ・・・@


これらを@に代入すると、

左辺を展開して整理すると

が得られます。
またはのときは、またはであって、いずれにしても、です。
よって、
(2)が成立します。
であって、またはのときは、,つまり、とおくことができて、となります。
のとき、(1)によると、

よって、(2)が成立します。
のとき、(1)によると、
よって、(2)が成立します。
(証明終)

1のとき、のなす角q ()を求める。
[解答] 


より、

......[]

2のとき、を求める。
[解答]  ・・・@
 ・・・A
 ・・・B
A−@より、
 ・・・C
9−Bより、

Cに代入して、

@より、


......[]


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