定積分と面積(その2)

この項目は、不定積分の公式定積分と面積を参照してください。
1. のグラフが、の範囲で囲む部分の図形の面積を求める。
[解答] として、




面積を求める部分は、右図で黄色に塗られた部分。のグラフは、に関して対称だから、求める面積Sは、において、両グラフが囲む部分の面積の2倍に等しい。

 
 
 
 
  ......[]

2. 2曲線、において接するようにabを定め、2曲線とx軸,y軸とで囲まれる部分の面積を求める。
[解答] として、において接する
⇔ 
・・・@ かつ ・・・A

@より、
Aより、
よって、
面積を求める部分は右図で黄色く塗られている部分。求める面積Sは、x軸,y軸,で囲まれる部分の面積から、x軸,で囲まれる部分の面積を引いたものになります。
また、
とおくと、より、x軸とで交わります。

 
  ......[]

3. 楕円:が囲む部分の面積を求める。
[解答] yについて解くと、
複号の+は、楕円のx軸から上側の部分、−は、楕円のx軸から下の部分を表します。
曲線の存在範囲
(定義域)は、根号内を0以上として、より、
求める面積Sは、曲線の上側の部分を表す式:から下側の部分を著す式:を引いて、からaまで積分すれば求められます。

 
被積分関数をyとおくと、
両辺を2乗すると、より、原点を中心とする半径aの円。
よって、積分は、半径
aの円の面積の,即ち、に等しく(置換積分(その2)を参照)
......[
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この結果は、記憶してください。

4. 媒介変数表示、 ()により与えられる曲線の囲む面積を求める。
[解答] q 0からpまで動く間に、yは、0から1となり0に戻ります。xは、0から1になり0に戻ってまで行き0に戻ります。グラフは右図のようになります(正確には、微分して増減を調べること。のとき、のとき、)
求める面積
Sは、xyについての範囲で積分したもの(の部分の面積)2倍です。つまり、

x
q の関数で与えられているので、yでは積分ができません。そこで、xq で表しておいて、置換積分により、yの積分をq の積分に直します。
より、yのとき、q

 
 
とおくと、qのとき、t
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5. 曲線: ()x軸,直線,直線で囲まれる部分の面積を求めよ。
[解答] のとき、

より、
のとき、

より、
yで微分すると、

において、 (逆関数の微分法を参照)
のとき、
従って、は、において単調増加であり、求める面積Sは、yxで、の範囲で積分したものになります。

ところが、について、yxで表すことができないのです。これでは、積分が計算できません。
右図において、面積を求める部分は黄色で塗られた部分ですが、これは、原点
O4頂点とする長方形から、原点O4頂点とする長方形を取り除き、さらに、曲線:y軸,直線,直線で囲まれる図形A (右図において橙色で塗られた部分)を取り除いたものになります。
図形
Aの面積なら、xyで積分することになるので計算できます。図形Aの面積は、

 
 
よって、求める面積Sは、
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