定積分と微分(その2)

この項目では、定積分と微分を参照してください。


[証明] だとします。

両辺をxで微分すると、

 
  (証明終)

1. 

 
 

t
に関する積分を行う際に、被積分関数に、t以外の文字(tとの依存関係がない)を含む場合には、その文字を積分計算を実行するときには定数と見なして計算(なるべき積分の外側に出すようにする)し、その後に微分の計算を行うようにします。


 
のようにします。

2. のとき、
被積分関数の中のxを積分の外に出すために、置換積分します。
とおくと、
t
のとき、u

 
 
 
 
 

定積分を含む等式が与えられて関数を求める問題があります。定積分の上端も下端も定数の場合には、定積分自体を定数とおくことにより解決します。

3. を満たす関数を求める。
[解答]  ・・・@ とおきます。
 ・・・A
これを@に代入します。

  ・・・B

  (部分積分を参照)

Bに代入して、



Aに代入すると、 .......[]

定積分を含む等式が与えられて関数を求める問題で、定積分の上端または下端が変数になっている場合には、下記のようにします。
(i) 定積分の上端と下端が等しくなる(このとき定積分の値は0です)ような、変数の値を、与えられた等式に代入します。何らかの条件式が得られます。
(ii) 定積分が消えるように、定積分の上端または下端に出てくる変数で微分します。多少計算が必要ですが、これで、求める関数の主要部分が求まります。最後に(i)で得られた条件式を使って、関数を確定します。

4. を満たす関数を求める。
[解答] 与式で、とする(定積分を0にする)と、 ・・・@
両辺を
xで微分すると、

 

両辺をxで積分すると、
 (不定積分の公式を参照)


とおくと、
@より、

......[]

5. を満たす関数が任意の正数xyについて、等式:を満たすとき、を求める。ただし、において微分可能とする。
[解答] いきなり、与えられた等式: ・・・@ を微分することはできません。のときに微分できるかどうか、条件には何も書かれていないからです。
導関数の公式:を利用することを考えます。
@の左辺に
があるので、と見ることができるように、としてみると、とすればよいことわかります。
そこで、
を満たすようなhをとり、@に代入すると、
 ・・・A
ここで、
とするだけでは、Aの右辺がどうなるかわかりません。
そこで、
において微分可能、という条件を考えることにします。
における微分係数は、という形をしていますが、において微分可能ということは、この極限は極限値をもつ、ということです。
Aと比較して、
と見ればよいことがわかります。
を調べるために、@でとしてみると、

よって、Aより、

  ( が存在)
とおいて、

極限値が存在するので、は任意の正数xにおいて微分可能で、

x
で積分すると、
 ()
より、
......[]


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