定積分の公式

この項目については、定積分定積分と面積も参照してください。
(i) nが奇数の自然数のとき、
(ii) n
が偶数の自然数または0のとき、
(iii)

(iv)
(v)
(vi)

[
証明](i)
 
 
  ( は偶数で)
 
右図で水色の部分の積分は負、黄緑色の部分の積分は正で、足し合わせると打ち消し合ってゼロになります。

(ii)
 
 
  ( は奇数で)
 
右図で水色の部分の積分と、黄緑色の部分の積分は等しく、足し合わせると、水色の部分の積分の2倍になります。

(iii)
 
 
 


 
 
 
 
 


 
 
 
 
 

(iv)
 
 
 
この定積分は、右図の水色の部分、x軸とで囲む部分の面積に対応しています。積分区間のにおいては、曲線がx軸から下側にくるので定積分の値は負になります。

(v)
 
 
 
この定積分は、右図の水色の部分、x軸で囲む部分の面積に対応しています。積分区間のにおいては、曲線がx軸から下側にくるので定積分の値は負になります。

(vi)
 
 
 
 
この定積分は、右図の黄緑色の部分、x軸で囲む部分の面積に対応しています。積分区間のにおいては、曲線がx軸から上側にくるので定積分の値は正になります。
(証明終)

1
上記の定積分の公式(i)(ii)より、被積分関数:の奇数次の項の計算は不要(どうせゼロになる)で、偶数次の項については、からまでの積分範囲を、0からまでに変えた上で(上端、下端のいずれかを0にするだけでも、あとで0を代入するときに計算の手間がかなり軽減される)2倍すればよいのです。こうして、

 
 
 

2
この定積分の計算を、

 
とやると大変なことになってしまいます。
より、上記の定積分の公式(iv)を利用します。

 
 

3 とする。曲線:x軸上の点から引いた2本の接線のうち、接点のx座標が正のものと、この曲線と直線:とで囲まれる部分の面積を求める。
[解答] 曲線: ・・・@
@を
微分して、
接点のx座標をtとして、接点は接線の傾きは
接線は、
整理して、 ・・・A
Aは、
を通るから、を代入して、


より、 ()
Aに代入して、接線の方程式は、
求める面積は、@からAを引いて、からまで積分したものになります。これを、




とやってしまうと損をします。
被積分関数は、
と因数分解できます。
というか、@とAとは、
で接するので、連立すれば、を重解に持ちます。@のの係数は1なので、2次関数@が表す曲線と接線とで囲む部分の面積を計算しようとすれば、の形を積分することになるというのは、接点の座標が求まった時点でわかっていることです。よって、求める面積は、上記の定積分の公式(iii)を用いて、以下のように計算します。


......[
]
2
次関数が表す曲線(放物線)と接線とで囲む面積の場合(センター試験でよく見かけます)、接点のx座標のところまで積分するので、定積分の上端か下端が接点の座標となり、上記の計算法は非常に有効です。


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