定積分と不等式

において、が積分可能で、この範囲において、とするとき、
   
不等式の等号は、における任意のxについて、であるときに限り成立する。

において、が積分可能で、とするとき、区分求積法の議論より、定積分は、曲線と、x軸、直線,直線によって囲まれる部分の面積(負の値にはなりません)を表します。
における任意のxについて、であれば、
 ・・・@
に含まれるある区間において、であれば、明らかに、です。
内の残る区間においても、明らかに、です。よって、

@と合わせて、
 ・・・A
不等式の等号は、
における任意のxについて、であるときに限り成立します。
ここで、
とおくと、において、は積分可能で、です。
よって、Aにより、

であり、不等式の等号は、における任意のxについて、,つまり、であるときに限り成立します。

不等式の等号は、における任意のxについて、であるときに限り成立します。
(証明終)

上記の証明と同様なことを考える例を示します。

1. において、積分可能で2回以上微分可能な関数があるとき、 かつ かつ であれば、 であることを示す。
[解答] より、は単調減少で、です。また、より、において、です。
とおくと、より、,また、より、

また、において、より、曲線は上に凸で、接線から下側に来ます。 ・・・@
における接線は、 ・・・A
における接線は、 ・・・B
A,Bを連立すると、

よって、2接線A,Bの交点は、です。
@より、
x軸で囲む部分の面積は、2直線A,Bとx軸で囲む部分(底辺1,高さの三角形)の面積よりも小さくなります。よって、



上記の結果: を使う例を示します。

2. のとき、 であることを示す。
[解答] 不等式中辺の定積分は計算できないので、定積分の計算をしないで示すことを考えます。
のとき、です。
において、より、であり、
が成立します。よって、
 ・・・@ (被積分関数に関する不等式に等号が入らないので、定積分の不等式にも等号が入らないことに注意)

@右辺の定積分は、とおくと、xのとき、j
 (置換積分(その2)を参照)
@に代入して、



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