中間値の定理

中間値の定理:閉区間において連続な関数について、,または、を満たすpに対して、を満たすcが存在する。

[証明]のときは、またはとすればよいので明らか。
のとき、として、となるc(より、とかということはあり得ない)存在しない ・・・@ と仮定します。
ここで、関数
として関数を考えると、において、は連続な関数であり、なので、もまた連続な関数です。
最大値・最小値の定理により、は、において、最大値、最小値をもちます。
より、は正の値も負の値もとる関数です。従って、の最大値Mであり、最小値mです。
より、かつ,であって、つまり、は、となる値をとり得ません(に注意)
は正の値も負の値もとる関数であり、より、であって、においてにおいてとなるabgが必ず存在します(正確には、実数の稠密性が前提になっています)
このとき、
においてより、,また、においてより、

これは、が存在しないこと、さらに、,即ちにおいて連続でないことを意味しており、において連続であることに反します。
よって、仮定@は誤りです。
従って、
のとき、として、となるcが存在します。
の場合も同様です。 (証明終)

例.方程式:の範囲に実数解をもつことを示す。
[解答] とおくと、
中間値の定理により、は、の範囲に実数解をもちます。


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