定積分と体積

この項目は、不定積分の公式を参照してください。
座標空間中の、
の範囲に置かれた立体図形をxy平面に平行な平面で切断したときの断面積をとすると、この立体図形の体積Vは、


の範囲をn等分し、として、平面で立体図形を切断したときの断面積はです。このときの切断面を底面とし、高さの柱体を考えると、の体積は、で与えられます。
の体積の総和:は、の極限で立体の体積Vに近づきます。よって、区分求積法により、


1. 半径rの円を底面とし、高さhの円錐の体積を求める。
[解答] 底面の円がxy平面上に置かれているとして考えます。
平面
で円錐を切ったときの断面の円の半径をとして、r = h

断面の円の面積は、
よって、円錐の体積は、

 
 
 
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円錐に限らず、底面積底面積S,高さhの錐体では、平面で切断したときの断面積がで与えられるので、上記と同じように積分して、錐体の体積Vは、となります。

2. 半径rの球の体積を求める。
[解答] 球の中心が原点にあるとして考えます。
平面
で球を切ったときの断面の円の半径をとして、三平方の定理より、
断面の円の面積は、
よって、球の体積Vは、の部分にある半球の体積の2倍として、

 
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3. tの範囲を動くとき、zx平面上の曲線: (),および、yz平面上の曲線と、平面との4交点を頂点とする四角形の外周及びその内部の領域が通過する部分の体積を求める。
[解答] とすると、
より、
とすると、
よって、体積を求める部分の立体をで切った断面の四角形の面積は、
求める体積Vは、

とおく(置換積分を参照)と、zのとき、u

  (部分積分法を参照)
 
 
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