逆行列

この項目では、行列行列の積を参照してください。
正方行列
Aに対して、 (E:単位行列)をみたす行列Bを、A逆行列と言い、 (A-inverseと読みます)と書く。
即ち、
2
次の正方行列に対し、A行列式と言う。行列式は、のようにも表す。
Aは、のときに、逆行列をもち、 ()
のときには、行列Aは、逆行列をもたない。

正方行列Aが逆行列をもつときは、1つしか逆行列をもちません。仮に、Aの逆行列がBC2つあったとする()と、 ()ですが、左からをかけると、

となって矛盾を生じます。
()は、行列の積を計算してみると、


よって、です。

n()の正方行列の場合の行列式の公式は複雑です。少なくとも大学入試では不要です。
注.実は、クラメールの公式と呼ばれる公式があるのですが、
基本変形による方が遙かに簡単です。
行列
Aが逆行列をもつ、つまり、のとき、行列Aを正則と言います。
が逆行列をもつとき、2個のベクトル1次独立です。
一般に、
n次正方行列Aが逆行列をもつときには、行列Aを列ベクトルが横に並んだものと見て、とすると、,・・・,1次独立です。
正方行列
Aについて、より、です。

例.
(1) は、より、逆行列をもちます。
(2)
は、より、逆行列をもちません。より、行列内の2個の列ベクトルは1次独立ではありません。
(3) は、より、逆行列をもちます。

n
次正方行列ABがともに逆行列をもつとき、


より、

です。

として、


 
 
 
 
従って、ABのいずれかが逆行列を持たなければ(または)も逆行列を持ちません()

(3次以上の正方行列の逆行列について、どうしても知りたい人は、逆行列(その2))


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