慶大理工数学'06[A2]

ある時点(0年目)で、同じ容量の2つの空の樽ABに新味噌を一杯に入れ、以後、1年経つごとに以下の操作を行う。ただし味噌の量は自然には増減しないとする。
Bの味噌を半分取り除き、Aの味噌の半分をBに移す。さらに、Aにはその年の新味噌を入れ一杯にし、両樽ともよく混ぜる。
以下では、新味噌は0年物とし、x年物の味噌が1年経過したものを年物とする。また、x年物とy年物を同量ずつ混ぜた味噌は年物と呼ぶ。
n年後に上記の操作を行った直後のABの味噌をそれぞれ年物、年物と表す。例えば カ となる。
自然数
nに対し、で表すと キ となり、数列の一般項は ク となる。この式を用いることで、数列の漸化式 ケ を得る。ここでとおき、数列の一般項を求めることにより、数列の一般項は コ となることがわかる。

解答 () 2年後に、Aの味噌は年物になり、このうちの半分がBに移るので、その残りと0年物を同量ずつ混ぜると、年物となる。
Bの味噌は年物になり、このうちの半分が取り除かれて、Aの味噌の半分と同量ずつ混ぜると、年物になります。
よって、 ......[]

() n年後にABの味噌が年物、年物だったとして、年後には、Aの味噌は年物となり、このうちの半分がBに移るので、その残りと0年物を同量ずつ混ぜると、年後の操作後のAの味噌が年物だとして、
......[] ・・・@ (2項間漸化式を参照)

()  ・・・A より、
@−Aより、
よって、は、初項:,公比:等比数列で、
......[]

() 年後には、Bの味噌は年物になり、このうちの半分が捨てられて、Aの味噌の半分と同量ずつ混ぜると、年後の操作後のBの味噌が年物だとして、

......[] ・・・B

()  ・・・C より、
B−Cより、
両辺にをかけると、
とおくと、 ・・・D
よって、は、初項:,公差:等差数列で、
より、
......[]


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