の円周上に、が

以上以下であるような点

k ()

()

へ至る所要時間をとする。

(1) 線分PBの長さをを用いて表すと、　セ　となる。

(2) の導関数は

　ソ　

(3) がのとき最小となるためには、　タ　となることが必要十分である。

(4) とおくとき、をθ の式で表すと、　チ　となる。

また、　タ　とするとき、が最小となるようにθ を選ぶと、αとkの間には、　ツ　という関係が成立する。

(1) (セ)　です。右上図より、，円弧APの長さは、，円弧APを動点Xが進むのに要する時間は、

∴

......[答]

(2) (ソ)　PBを動点Xが進むのに要する時間は、

......[答]

(3) (タ)　

この分母は、において正です。
分子をに関する2次関数とみて、とおくと、

軸の位置で分類します。
のとき、なので、

(i) ，(ii) ，(iii)

(i) ，つまり、のとき、は、において、の減少関数で、

，

より、は、の範囲に解 ()をもち、
，つまり、において、，，
，つまり、において、，
従って、はにおいて極小値をもつ(関数の増減を参照)ので、において最小とはならず、不適。
注意　上記で、θ→大、のとき、→小、であることに充分に注意してください。

(ii) ，つまり、のとき、はにおいて最大で、

より、
において、，
従って、は単調減少で、において最小になります。

(iii) ，つまり、のとき、は、において、の増加関数で、より、において、，

従って、は単調減少で、において最小になります。

以上より、がのとき最小となるためには、となることが必要十分です。

......[答]

∴ ......[答]

(ツ)　を用いて、

のとき、つまり、(3)(i)のとき、はにおいて最小となりますが、このとき、

∴ ......[答]

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