，
，
により定められる部分Aの面積は ア である。また空間内でx軸のまわりにAを1回転させてできる回転体の体積は イ である。この体積はa＝ ウ のときに最大となる。
とする。xy平面上で，，
，Q
を通る直線とxy平面との交点はR (t， エ ，0)である。t が
の範囲を動くときに点Rが描く曲線をCとする。xy平面上で、x軸，y軸とCとにより囲まれた部分の面積は オ である。
とする。たとえば、
＝
，
＝ カ である。
のとき
と
の間には
＝ キ という関係式が成り立つ。これよりnを用いて
をあらわすと
＝
である。
)出る確率は
であり、この確率が最大になるのはk＝ コ のときである。
)出る確率を考える。nを固定したとき、この確率を最大にするようなkの値が2個存在するための必要十分条件は、nを サ で割ったときの余りが シ となることである。
と曲線
が共有点を持つための切片bの条件をaを用いてあらわすと
ス である。
と曲線
が共有点を持つための切片bの条件は、
セ のとき
ス であり、
セ のとき
ソ となる。
と曲線
が共有点を持つようなbの最小値が存在することがある。この最小値の符号を換えたものを
と書くことにする。たとえば
ならば
＝−( ス )である。
とする。
と定めて、aを変数xで書き換えた関数
に対して
を考える。
タ のとき
＝ チ であり、
タ のとき
＝ ツ である。
，
を結ぶ線分の垂直2等分線
の傾きは テ で、方程式はy＝ テ x＋ ト である。
に関して点
と対称な位置にある点を
とする。座標であらわすと、
は
，
は ナ ，
は ニ である。また
の座標をtを用いてあらわすと
である。
のとき
は直線y＝ ノ に限りなく近づく。
が描く曲線をCとする。点
(
)におけるCの接線の傾きは、
のとき ハ に近づく。曲線Cと直線
が異なる3点で交わるための必要十分条件は ヒ ＜ a ＜ フ である。
ヘ である。
とおく。
であることを証明しなさい。
が0でない有限の値となるのは、rとpの間に関係式
ホ が成り立つときのみである。そのときの極限値をpを用いてあらわせば マ である。さらに
が0でない有限の値となるのは、pとqの間に関係式
ミ が成り立つときに限る。
が成り立つための必要十分条件は、
かつ
であることを証明しなさい。
の形の積分だけですみます。体積最大も3次関数の微分で片付きます。
とすれば、曲線の式が得られます。曲線の式も特に注意すべき点はありません。平凡に面積を求める積分を行うことができます。積分は、
の形をしているので、
とおけば良いのですが、解答では、分母をuだけにするために、分母全体
をuとおきました。この問題ではあまりメリットはありませんが、もっと複雑な定積分計算を行う場合には、効果大のことがあります。
回めとn回めの間の移り変わりを考えることにより容易に2項間漸化式を作ることができます。
と
の比を考えるのは定型的な問題なので、ここで、引っかかるようでは、慶大合格は無理だと私は思います。
)までの相異なる番号のついたn枚の札が入れてある。次の操作を繰り返すことによって、別の1つの箱にn枚とも移したい。
とすれば
＝ キ ，
＝ ク ，
＝ ケ 
と
(
)との間には、関係式
＝ コ 
＋ サ 
をnの式で表せば、
＝ シ である。
は、とりあえず1〜
を2番目の箱に移して(
回)、番号nを3番目の箱に移し(1回)、2番目の箱の
枚を3番目の箱に移す(
回)と考えて、
より2 (サ) 1 (シ) 
の場合には、放物線の軸の外側に実数解を持つためには判別式≧0であればよく、
の場合には、判別式はどうでもよくて直線が限界の点
の上を通りさえすればよい、ということに気づければ良いわけです。
が出てきますが、記号の意味をつかんでグラフを描いて(2)と同様に考えることができれば、難しいわけではありません。新しいものにも意欲的に挑戦していこう、という気持ちがあれば、正解できるはずです。
，
，
をチェックしていることから考えて、私には、出題者が論理的な思考を要求しているようには思えないのです。最終解答しか聞いていないのだからいい加減な議論でも良い、ということではなく、むしろ積極的に空所補充問題であることの意義を活用して、直観力を見ている問題のように思えます。「必要十分条件は」というような言葉に惑わされないようにして頂きたいと思います。
を点
にうつす平行移動によって曲線
を移動して得られる曲線をCとする。Cと曲線
，
が接するようなa，bを座標とする点
の存在する範囲の概形を図示せよ。
と
の位置関係が変わります(おもしろいので、いろいろ図に描いて確かめてみてください)。また、両曲線が接点以外に共有点を持たないとき、
は概形を描いた曲線の尖点になっています。実は、このとき、両曲線は非常に微妙な接し方をしています。
，
，
を調べれば予測がついてしまいますが。
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