慶大理工数学'09[A1]

(1) 平面上において点Oを中心とする半径rの円を考える。この円の外部にある点Aからこの円に引いた2本の接線のなす角度がであるとき、の値は ア である。
(2) xy平面上で放物線Cと直線lが囲む図形の面積は イ である。放物線Cと直線lとの2つの交点をABとする。点Pが放物線上をAからBまで動くとき、三角形APBの面積が最大となるのは点P( ウ  エ )のときである。点から直線lにおろした垂線をとすると、Hの座標は( オ  カ )である。
(3) xy平面上において曲線および2つの直線により囲まれる図形をKとする。図形Kx軸のまわりに回転してできる立体の体積は キ であり、図形Ky軸のまわりに回転してできる立体の体積は ク である。

解答 深くは聞かないけれど、一通りのことは確かめておこうという基本問題3題です。(1)については、解答をとしているウェブサイトもあります。確かにそうなのですが、でもそれが正解なのだとしたら、出題者の品位を疑いたくなります。

(1)()
 (半角の公式を参照)
......[]

(2)() C
l
両式を連立し、

C
lで囲む図形の面積Sは、
......[] (定積分の公式を参照)
() 三角形APBの面積が最大になるのは、点PにおけるC接線lと平行になるとき(2直線の平行・垂直を参照)です。
Cについて、
 (は、lの傾き)
のとき、 ......[]
()
() 直線lに直交して、点()を通る直線は、傾きが (2直線の平行・垂直を参照)で、
 (直線の方程式を参照)
これとlとを連立して、
......[]
() ......[]

(3)() 図形Kx軸のまわりに回転してできる立体の体積は、
......[]
() 図形Ky軸のまわりに回転してできる立体の体積は、底面が半径1の円で高さeの円柱の体積から、y軸,で囲まれる図形をy軸のまわりに回転してできる立体の体積を引いたもので、より、
 (部分積分法を参照)


......[]


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