慶大理工数学'09[A2]

さいころを投げるという試行を繰り返し行う。ただし、2回連続して5以上の目が出た場合は、それ以降の試行は行わないものとする。
n回目の試行が行われ、かつn回目に出た目が4以下になる確率をとする。このとき、 ケ  コ である。またとおく。に対して、の間に成立する関係式を求め、それを ()の形に書くと サ である。よって、( シ )となる。
また、
n回目の試行が行われ、かつn回目に出た目が5以上になる確率をとする。このときである。とするとき、の間には ス なる関係式が成り立つ。したがって、5以上の目が出る回数の期待値は セ である。

解答 まずは、3項間漸化式が立てられるか、というところが勝負の分かれ目になります。期待値については、やり方が書かれてしまっているので、その通りに計算すればよいのですが、かなり計算が面倒なので、ミスには充分に注意してください。

さいころを投げて、
5以上の目が出る事象をU (確率)4以下の目が出る事象をD (確率)とします。

() 必ず2回以上さいころを投げるので、 ......[]
() 3回めにDが起こるのは、
1回目がD2回目がU3回目がDになる(確率)場合と、
2回目がD3回目がUになる(確率)場合
があり、両者は排反なので、 ......[]
() のとき、n回目にDが起こるのは、
回目がD回目がUn回目がDになる(確率)場合と、
回目がDn回目がDになる(確率)場合
があり、両者は排反なので、
これは、なのでのときにも成り立ちます。として、
 (3項間漸化式を参照) ・・・@
 ・・・A
とすると、
 ・・・B
@,Aより、より、ab2解とする2次方程式

より、 ......[]
() Aより、は、初項:,公比a等比数列。よって、
 ・・・C
Aのabを入れ替えて、
これより、は、初項:,公比bの等比数列。よって、
 ・・・D
C−Dより、


......[]
() のとき、n回目にUが起こるのは、
回目がD回目がUn回目がUになる(確率)場合と、
回目がDn回目がUになる(確率)場合
があり、両者は排反なので、
 ・・・E
必ず2回以上さいころを投げるのでです()が、より、
より、のときもEは成立します。
......[]
() 5以上の目が出る回数の期待値は、

より、無限等比級数は収束し、





......[]


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