慶大理工数学'09[A2]検討

[A2](解答はこちら) 確率の問題ですが、主要部分は3項間漸化式を立てて一般項を求める、という平凡な問題です。3項間漸化式を立てるところは、少し熟考する必要がありますが、()()の具合から推測できるように配慮されているので、何とかなるでしょう。漸化式は、解ける、というだけでなく、自力で立式できるようにしておかなくてはいけない、ということです。
最後の期待値は、ノー・ヒントだと難しいですが、として計算するように指定されているので、単なる計算問題です。解答では、を代入して、を別々に計算していますが、

と書いてみると、なので、
とすれば、もっと要領よく計算できます。
なぜ、
5以上の目が出る確率がで求められるのか、と、言うと、「n回目の試行が行われ、かつn回目に出た目が5以上になる」というのは、5以上の目がn回出る場合だけでなく、回出る場合、回出る場合、・・・,を全て含んでいるので、ちょうどn回だけ5以上の目が出る確率をとすると、
,・・・
となっていて、
が、(回数)×(ちょうどその回数になる確率)の和になっているからです。2009年時点で、将来、学習指導要領が改訂され、高校数学で、統計や条件付き確率が必修になってくるようですが、そうなると、本問()はノー・ヒントで出題されるようになり、上記は重要な受験技巧の1つになるかも知れません。


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