慶大理工数学'09[A3]

とする。xy平面上において点を中心とする半径rの円を考える。この円が曲線C ()に接するのは、半径rがどのような値のときであるかを調べてみよう。この半径rの円が曲線Cと接するとき、その接点のx座標は、曲線
と直線が接する場合の接点のx座標と一致する。
 ソ のとき、において タ でのみ極小となる。よって、
x座標がなる点において半径 チ の円だけが曲線Cに接する。
 ソ のとき、においてで極大となり、 ツ  テ 
()において極小となる。したがって、x座標がなる点で曲線Cに接する円のほかに、半径 ト の円がx座標がなる2点において曲線Cに接する。

解答 円と直角双曲線が複雑にからまりながら微妙な接し方をする、という問題です。誘導の仕方がちょっと変わっているので、まごつくかも知れませんが、出題者の意図をよく考えるようにしましょう。

なお、
微分法の方程式への応用2を参照してください。

()  (合成関数の微分法を参照)



方程式:は、判別式:のとき実数解を持たないか重解をもち、このとき、 (2次方程式の一般論を参照)です。の場合には,は正負いずれの値も取り得ます。
そこで、においては、で場合分けします。
2 ......[]
のとき、より、増減表は(関数の増減を参照)
x0
1

0

() において ......[] でのみ極小となります。
()
より、半径 ......[] の円だけが曲線Cに接します。
のとき、2実数解をもち、より、
ここで、
(複号同順)
より、
 (ここまで複号同順)
増減表は、
x0

1


000

() においてで極大となり、 ......[]
() ......[]において極小となります。
() したがって、x座標が ()なる点で曲線Cに接する円のほかに、半径 ......[] の円がx座標がなる2点において曲線Cに接することになります。


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