慶大理工数学'10[A1]

(1) 平面上の2つのベクトルを満たしている。このとき、の内積であり、のなす角q である。ただし、である。
(2) 関数における最小値はであり、最大値はである。
(3) 数列
()
を満たしている。この数列の一般項は、で与えられる。
また、である。

解答 いずれも、教科書の例題レベルの基本問題です。空所補充形式なので、ケアレス・ミスは致命傷です。

(1)()  ・・・@ (内積を参照)
 ・・・A
@−Aより、 ......[]
() と@より、
より、 ......[]

(2)()  (三角関数の応用を参照)
とおくと、よりであって、
 (3次関数の最大最小を参照)
とすると、
t0

1

00
67

増減表より、最小値は6 ......[]
() 最大値は ......[]

(3)() 与えられた漸化式で、とすると、左辺はとなるのに、右辺は0なので、です。そこで、与えられた漸化式をについて解くと、
とするとですが、なので、となるnはありません。そこで、両辺の逆数を考え、
とおくと、
 ・・・B (2項間漸化式を参照)
 ・・・C

B−Cより、
これより、数列は、初項,公比等比数列

......[]
() のときより、 (等比数列の極限を参照)
......[]


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