慶大理工数学'10[A4]

正の整数nkに対して、x3次関数
を考える。3次方程式が相異なる3つの実数解をもつような正の整数の組を見つけたい。
の導関数をとする。が相異なる
3つの実数解をもつならば、の相異なる実数解の個数は個でなければならない。これより、nkの満たす不等式
 ・・・@
が得られる。
次にとおくと、も相異なる
3つの実数解をもたなければならない。これより、@を得たのと同様にして、nkの満たす不等式
 ・・・A
が得られる。
正の整数
nを与えるとき、連立不等式@,Aを満たす正の整数kをすべて求めると
3つである。に対して、方程式を考えると、これはnに無関係に定まる解nを用いて表される2つの解
3つの実数解をもつ。

解答 枠の形がヒントになっています。誘導にうまく乗って解答を進めましょう。

()
が相異なる3つの実数解をもつならば、の相異なる実数解の個数は2個でなければなりません(微分法の方程式への応用を参照)
2 ......[]
() よって、2次方程式の判別式について、

 ・・・@
......[]
()
@を得たのと同様にして、2次方程式の判別式について、


 ・・・A
2 ......[]
() @について、より、
 ・・・B
Aについて、より、
 ・・・C
@とより、
 ・・・D
Aとより、
 ・・・E
D,Eより、
この不等式を満たす整数kは、B,Cを考慮すると、
即ち、
......[]
() のとき、
 ・・・F
nに無関係に定まる解」という問題文の記述から、x1,・・・と順に代入して行きます。

 ・・・G
これより、は解をもちます。
......[]
() Gよりを因数にもつ(因数定理を参照)ので、Fので割って、

以外の解は、
() ......[]


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